Dixon-Coles: Wie man den Low-Score-Fehler des Poisson-Modells behebt

Das einfache Poisson-Fußballmodell hat einen bekannten Riss: Es nimmt an, dass die Toranzahlen der beiden Teams unabhängig sind — und bei niedrigen Ergebnissen sind sie das nicht. 1997 veröffentlichten Mark Dixon und Stuart Coles eine kleine Korrektur — ein einziger Parameter, ρ (rho) —, die genau diesen Riss flickt und sonst nichts. Fast dreißig Jahre später ist sie immer noch der Standard-Fix, und sie läuft bei uns in Produktion. Dieser Artikel erklärt das Problem, rechnet die Korrektur mit Beispielzahlen durch und teilt eine lehrreiche Erkenntnis aus unserem eigenen ρ-Fit: Der Lehrbuchwert war doppelt so stark wie nötig.

Das Problem: niedrige Ergebnisse sind nicht unabhängig

Falls du unseren Grundlagenartikel über das Poisson-Modell für Fußball noch nicht gelesen hast, fang dort an — dieser Artikel baut direkt darauf auf. Die Kurzfassung: Ein Poisson-Modell multipliziert zwei unabhängige Torverteilungen zu einem Ergebnis-Raster, und jeder Marktpreis ist eine Summe über dieses Raster.

Unabhängigkeit ist bei den meisten Ergebnissen eine gute Näherung, aber echte Spieldaten zeigen eine systematische Falte in der Low-Score-Ecke: 0:0 und 1:1 kommen etwas häufiger vor, als Unabhängigkeit vorhersagt, während 1:0 und 0:1 etwas seltener auftreten. Die Intuition ist taktisch. In einem engen, abwartenden Spiel gehen beide Seiten weniger Risiko und drosseln damit gleichzeitig die Torproduktion des Gegners — die beiden Toranzahlen sind genau in der Region negativ korreliert, in der Spiele durch ein Tor oder gar keines entschieden werden.

Der Fehler pro Zelle ist klein — typischerweise deutlich unter einem Prozentpunkt absoluter Wahrscheinlichkeit. Aber Unentschieden-, Under- und Correct-Score-Preise bestehen aus genau diesen Zellen, und Wett-Edges sind regelmäßig kleiner als der Fehler. Ein Modell, das 1:1 um einen halben Punkt falsch bepreist, verschenkt Marge auf jedem Draw- und BTTS-Preis, den es ausgibt.

Die Tau-Korrektur: vier Zellen, ein Parameter

Dixon und Coles multiplizieren die vier Low-Score-Zellen mit einem Korrekturfaktor τ, der von den beiden Lambdas und dem neuen Parameter ρ abhängt. Mit einem negativen ρ ergeben sich die Faktoren:

• 0:0: multipliziert mit 1 − λ_Heim × λ_Auswärts × ρ → größer als 1, 0:0 wird also wahrscheinlicher.
• 1:1: multipliziert mit 1 − ρ → ebenfalls größer als 1.
• 1:0: multipliziert mit 1 + λ_Auswärts × ρ → kleiner als 1, 1:0 wird also unwahrscheinlicher.
• 0:1: multipliziert mit 1 + λ_Heim × ρ → ebenfalls kleiner als 1.

Wahrscheinlichkeit wandert aus den Knapp-Sieg-Zellen in die torarmen Unentschieden-Zellen, und das Raster wird renormalisiert, damit es weiter 100 % ergibt. Jedes Ergebnis mit zwei oder mehr Toren auf einer Seite bleibt exakt so, wie es das reine Poisson-Modell berechnet hat.

Beispielrechnung mit ρ = −0,06

Nimm dasselbe illustrative Spiel wie im Poisson-Grundlagenartikel: Heim λ = 1,6, Auswärts λ = 1,1, und setze ρ = −0,06 (nah an dem Wert, den wir tatsächlich fitten — dazu gleich mehr). Die vier korrigierten Zellen, vor der Renormalisierung:

• P(0:0): 6,72 % × (1 + 0,06 × 1,6 × 1,1) = 6,72 % × 1,106 = 7,43 % (plus 0,7 pp)
• P(1:1): 11,83 % × 1,06 = 12,54 % (plus 0,7 pp)
• P(1:0): 10,75 % × (1 − 0,06 × 1,1) = 10,75 % × 0,934 = 10,04 % (minus 0,7 pp)
• P(0:1): 7,39 % × (1 − 0,06 × 1,6) = 7,39 % × 0,904 = 6,68 % (minus 0,7 pp)

Die Folgewirkungen auf die Marktpreise sind genau, was du erwarten würdest: Die Unentschieden-Wahrscheinlichkeit steigt um gut einen Prozentpunkt, Under 2,5 und BTTS-Nein ticken leicht nach oben, und die beiden knappen Heim-/Auswärtssiege geben die Wahrscheinlichkeit ab. Auf Asian-Handicap-Linien um null, wo Pushes und Halbtor-Margen dominieren, sind diese paar Zehntel der Unterschied zwischen einem fairen Preis und einem Leck.

ρ fitten: warum wir dem Lehrbuchwert nicht vertrauen

Das Original-Paper von Dixon und Coles — und die meisten Tutorials, die es abschreiben — nennt ρ in der Gegend von −0,13, gefittet auf englischen Ligadaten der frühen 1990er. Als wir ρ per Maximum-Likelihood auf unserem eigenen Trainingsset von rund hunderttausend Spielen der europäischen Top-Ligen gefittet haben, sagten die Daten etwas anderes: ρ ≈ −0,06 — etwa die halbe Lehrbuch-Stärke.

Diese Lücke ist kein Fehler in einer der beiden Zahlen. Der Fußball hat sich verändert. Das englische Spiel der frühen 90er, das −0,13 produzierte, war langsamer und torärmer als der moderne Spitzenfußball; die Low-Score-Korrelation ist in beiden Epochen real, heute aber schwächer. Hätten wir den Literaturwert fest verdrahtet, hätten wir überkorrigiert — 0:0 und 1:1 systematisch zu teuer gemacht und auf der Gegenseite jedes Draw-nahen Marktes still geblutet. Die Korrektur hätte einen Fehler von ungefähr derselben Größe eingebaut wie den, den sie beheben sollte.

Ist ein Prozentpunkt überhaupt relevant?

Die Frage ist berechtigt, ob eine so kleine Korrektur den Aufwand wert ist. Die Antwort hängt komplett davon ab, wofür das Modell da ist. Für einen Fan, der Ergebnisse tippen will: nein — reines Poisson erzählt die Geschichte richtig. Für das Bepreisen von Märkten gegen einen Buchmacher: ja, aus einem einfachen Grund. Die Marge, die du jagst, beträgt selbst nur wenige Prozentpunkte. Ein Edge, der aus einem Raster berechnet wird, das in der Unentschieden-Ecke nachweislich verzerrt ist, ist ein Edge, dem du genau in den Märkten nicht trauen kannst — Draws, Unders, exakte Ergebnisse —, in denen die Verzerrung wohnt.

Dazu kommt ein Verstärkungsargument: Die Low-Score-Zellen sind die am stärksten gewichteten Zellen im Fußball. Rund ein Viertel aller Spiele endet 0:0, 1:0, 0:1 oder 1:1. Ein systematischer Fehler, der sich auf die häufigsten Ausgänge konzentriert, ist die schlimmste Sorte systematischer Fehler.

Alles zusammengefügt

Dixon-Coles ist die seltene Modellverbesserung, die klein, gezielt und langlebig ist: ein Parameter, vier Rasterzellen, eine messbare Verzerrung entfernt. Unser produktives Fußball-Tormodell läuft mit einem daten-gefitteten ρ von etwa −0,06 — der halbe klassische Lehrbuchwert, weil wir hunderttausend moderne Spiele sprechen lassen statt eines 1990er-Datensatzes. Die allgemeine Lektion reicht weit über Fußball hinaus: Übernimm Strukturen aus der Literatur, aber fitte jede Konstante auf deinen eigenen Daten neu und validiere das Ergebnis out-of-sample — dieselbe Disziplin, die wir bei jedem unserer Modelle anwenden.