Das Poisson-Modell für Fußball-Ergebnisse (einfach erklärt)

Bitte einen Statistiker, ein Fußballspiel zu modellieren, und das erste Werkzeug aus dem Koffer ist fast immer die Poisson-Verteilung. Sie ist knapp hundert Jahre alt, passt auf eine Serviette — und treibt trotzdem bis heute die Tormarkt-Modelle ernsthafter Wett-Operationen an, unsere eingeschlossen. Dieser Artikel erklärt, was ein Poisson-Modell wirklich tut, rechnet die Mathematik mit sauberen Beispielzahlen durch und zeigt, wie aus zwei bescheidenen Eingaben Preise für jedes Ergebnis, jedes Total und jedes Handicap eines Spiels werden.

Was die Poisson-Verteilung ist

Die Poisson-Verteilung beantwortet eine einzige Frage: Wenn ein Ereignis mit einer bestimmten durchschnittlichen Rate auftritt — wie wahrscheinlich ist es, dass es in einem festen Zeitfenster genau 0, 1, 2, 3… Mal passiert? Tore im Fußball passen bemerkenswert gut in dieses Schema. Sie sind selten (ein paar pro Team und Spiel), sie können fast jederzeit fallen, und die Toranzahl eines Teams über 90 Minuten verhält sich — in erster Näherung — wie eine Zählung unabhängiger Zufallsereignisse.

Die einzige Eingabe, die die Verteilung braucht, ist die durchschnittliche Rate, geschrieben als λ (Lambda). Wird ein Team auf λ = 1,6 erwartete Tore geschätzt, macht Poisson aus dieser einen Zahl eine vollständige Wahrscheinlichkeitsliste über exakte Toranzahlen:

• P(0 Tore) = 20,2 %
• P(1 Tor) = 32,3 %
• P(2 Tore) = 25,8 %
• P(3 Tore) = 13,8 %
• P(4+ Tore) = 7,9 % (der Rest im „Schwanz“ der Verteilung)

Das ist der ganze Trick. Eine Expected-Goals-Zahl rein, eine komplette Verteilung raus. Die Formel dahinter lautet P(k) = e^(−λ) × λ^k / k!, aber du musst sie nie von Hand rechnen — entscheidend ist die Form: Die meiste Wahrscheinlichkeit liegt bei 0–2 Toren, und der Schwanz fällt schnell ab.

Beispielrechnung: von zwei Lambdas zum Ergebnis-Raster

Ein Spiel hat zwei Teams, also nutzt das Grundmodell zwei unabhängige Poisson-Verteilungen. Angenommen, unser Modell schätzt die Heimmannschaft auf λ = 1,6 und die Auswärtsmannschaft auf λ = 1,1 (alle Zahlen in diesem Artikel sind illustrativ). Die Wahrscheinlichkeit jedes exakten Ergebnisses ist einfach das Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:

• P(0:0) = P(Heim 0) × P(Auswärts 0) = 20,2 % × 33,3 % = 6,7 %
• P(1:0) = 32,3 % × 33,3 % = 10,8 %
• P(1:1) = 32,3 % × 36,6 % = 11,8 %
• P(2:1) = 25,8 % × 36,6 % = 9,5 %

Mach das für jede Kombination von 0:0 bis, sagen wir, 8:8, und du hast das Ergebnis-Raster — eine Tabelle, in der jede Zelle ein exaktes Ergebnis ist und das gesamte Raster sich zu (fast genau) 100 % summiert. Alles Weitere, was ein Tormodell produziert, ist nur eine andere Art, Zellen dieses Rasters zu addieren.

Die Summe über die drei Regionen des Rasters ergibt die 1X2-Wahrscheinlichkeiten für unser Beispielspiel:

• Heimsieg (alle Zellen mit Heim > Auswärts): ≈ 48,8 %
• Unentschieden (die Diagonale: 0:0, 1:1, 2:2…): ≈ 24,9 %
• Auswärtssieg (alle Zellen mit Auswärts > Heim): ≈ 26,3 %

Ein Raster, jeder Tormarkt

Die Eleganz des Ansatzes: Dasselbe Raster bepreist alle torbezogenen Märkte auf einmal — und alle Preise sind automatisch miteinander konsistent:

• Over/Under 2,5: alle Zellen mit 3+ Toren insgesamt addieren. Mit λ_gesamt = 2,7 in unserem Beispiel: Over ≈ 50,6 %, Under ≈ 49,4 % — ein echter Münzwurf, und genau deshalb legen Buchmacher die Hauptlinie dorthin.
• Beide Teams treffen (BTTS): alle Zellen addieren, in denen beide Zähler ≥ 1 sind. Hier ≈ 53 %.
• Asian Handicap: das Raster um die Handicap-Linie verschieben und die Gewinn-/Verlust-/Push-Regionen neu addieren.
• Exaktes Ergebnis: die einzelne Zelle direkt aus dem Raster ablesen.

Diese innere Konsistenz ist ein echter Vorteil gegenüber getrennt bepreisten Märkten. Wenn deine Over/Under-Wahrscheinlichkeit und deine 1X2-Wahrscheinlichkeit aus demselben Raster kommen, können sie sich nie widersprechen — etwas, das zwischen getrennt geführten Märkten bei weichen Buchmachern durchaus vorkommt.

Woher kommen die Lambdas?

Alles bisher war Mechanik. Das eigentliche Modellierungs-Handwerk liegt in der Schätzung von λ — und hier unterscheiden sich die Implementierungen. Der klassische Ansatz zerlegt die erwarteten Tore jedes Teams in Angriffsstärke × Abwehrschwäche des Gegners × Liga-Durchschnitt × Heimvorteil. Moderne Implementierungen reichern das mit Expected Goals (xG) statt roher Torzahlen an — weil Schussqualität stabiler und prädiktiver ist als verrauschte Torbilanzen — plus Elo-artige Team-Ratings, aktuelle Form und Aufstellungsdaten.

Unser eigenes Fußball-Tormodell ist auf rund hunderttausend historischen Spielen trainiert und speist über hundert Eingaben in die beiden Lambdas — aber der Punkt dieses Artikels ist: Die nachgelagerte Maschinerie ist seit 1919 unverändert. Zwei Raten rein, ein Ergebnis-Raster raus. Für den größeren Kontext, wie solche Modelle gebaut und validiert werden, lies wie Wettmodelle funktionieren.

Wo das einfache Modell schwächelt: bekannte Grenzen

Das schlichte Zwei-Poisson-Modell macht eine Annahme, die messbar falsch ist: Es behandelt die Toranzahlen der beiden Teams als vollständig unabhängig. In Wirklichkeit sind torarme Ausgänge korreliert — 0:0 und 1:1 kommen im echten Fußball etwas häufiger vor, als Unabhängigkeit vorhersagt, auf Kosten von 1:0 und 0:1. Der Fehler ist klein, ein bis zwei Prozentpunkte auf einzelnen Ergebnissen — aber Wettmargen sind kleiner. Das Standard-Gegenmittel ist die Dixon-Coles-Korrektur, die wir (mit unseren eigenen gefitteten Zahlen) im Detail behandeln: Dixon-Coles: den Low-Score-Fehler des Poisson-Modells beheben.

Zwei weitere ehrliche Einschränkungen. Erstens: λ ist eine Vor-Spiel-Schätzung — Platzverweise, frühe Tore und taktische Umstellungen verändern die Torrate mitten im Spiel, weshalb Pre-Match-Raster nicht für Live-Preise wiederverwendet werden sollten. Zweitens: Ein Modell kann strukturell solide und trotzdem nicht konkurrenzfähig sein. Die Marktpreise selbst enthalten bereits ein sehr gutes implizites Raster. Ein Poisson-Modell verdient seinen Platz nur, wenn seine Lambda-Schätzungen mindestens so gut sind wie die des Marktes — und das muss auf Out-of-Sample-Daten bewiesen werden, nie einfach angenommen.

Alles zusammengefügt

Ein Poisson-Fußballmodell besteht aus drei Schritten: erwartete Tore für jede Seite schätzen, jede Schätzung in eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Toranzahlen entfalten, und die beiden Verteilungen zu einem Ergebnis-Raster multiplizieren. Jeder Tormarkt — 1X2, Totals, BTTS, Handicaps, exaktes Ergebnis — ist dann eine Summe über Regionen dieses Rasters, per Konstruktion widerspruchsfrei. Die hundert Jahre alte Maschinerie ist gratis; der Wert steckt in den Lambdas und in der Disziplin, sie gegen die Realität zu testen.